來源：武際可科學(xué)網(wǎng)博客，作者：武際可教授。

桁架是一種普遍應(yīng)用的桿系結(jié)構(gòu)。圖7與圖8就是桁架結(jié)構(gòu)橋梁。所謂桁架，就是桿系結(jié)構(gòu)中的每一根桿都是結(jié)構(gòu)中幾何單形的一條邊，對(duì)于平面桁架，單形就是三角形，每一根桿都至少是一個(gè)三角形的一條邊，對(duì)于空間桁架，單形就是四面體，每一根桿都至少是一個(gè)四面體的一個(gè)棱。所以如果把桁架的每一根桿都看作剛體，它們所構(gòu)成的桿系是不會(huì)變形的，是十分堅(jiān)固的。

桁架的歷史是久遠(yuǎn)的。古羅馬時(shí)代的建筑師維特魯威（Marcus Vitruvius Pollio，生于80-70BC，逝世于15BC）所著《建筑十書》中所介紹的起重機(jī)械（圖1）和攻擊機(jī)械郝格托爾撞錘和龜（圖2）的結(jié)構(gòu)可以看作最早的桁架。桁架在建造木橋和屋架上最先見諸實(shí)用（圖3）。古羅馬人用桁架修建橫跨多瑙河的特雷江橋的上部結(jié)構(gòu)（發(fā)現(xiàn)于羅馬的浮雕中），文藝復(fù)興時(shí)期，意大利建筑師帕拉迪奧（Andrea Palladio，1508—1580）開始采用木桁架建橋，后來出現(xiàn)了華倫式、湯式、豪式等不同形式的桁架（圖4-6）。19世紀(jì)五十年代之后才出現(xiàn)鋼結(jié)構(gòu)桁架。

圖1 《建筑十書》中介紹的起重裝置

圖2 郝格托爾撞錘和龜

圖3 古羅馬時(shí)代早期木結(jié)構(gòu)桁架

圖4 華倫式桁架（James Warren 1848獲英國專利）

圖5 豪式（William Hawe 1840年設(shè)計(jì)并獲專利）桁架，增加了豎直桿

圖6 湯式網(wǎng)格（Ithiel Town 于1820年獲英國專利）桁架

圖7 1924年建成的上海浙江路桁架結(jié)構(gòu)橋

圖8 施工過程中的桁架橋梁

結(jié)構(gòu)力學(xué)在分析桁架的各個(gè)桿的受力時(shí)，需要簡化。歸結(jié)起來就兩條：

• 一條是所有的外力作用在桁架的節(jié)點(diǎn)上；

   

• 一條是桁架的所有節(jié)點(diǎn)都是鉸接的，也就是說每一根桿可以繞節(jié)點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。

這兩條的實(shí)質(zhì)是，桁架的每一根桿只受拉壓力，不受彎矩的作用，亦即沒有彎曲。

我們注意圖7、圖8的桁架，前一個(gè)桁架的節(jié)點(diǎn)是鉚接的，后一個(gè)節(jié)點(diǎn)是焊接的，都是固接，桿與桿之間并不能相互轉(zhuǎn)動(dòng)。為什么在做分析的時(shí)候卻能把這些節(jié)點(diǎn)簡化為鉸接的呢？這需要仔細(xì)說說。就是說，我需要估算在桁架的桿件變形時(shí)，桿件所受的彎曲程度。如果我們能夠證明在任何情況下，桿件彎曲所引起的應(yīng)力比拉壓的應(yīng)力都小許多，那么我們當(dāng)然就可以略去桿件的彎曲，把桁架的節(jié)點(diǎn)看做鉸接了。

不妨設(shè)桿的長度為l，桿的截面尺寸為a，并且a<<l，即截面尺寸比長度小一個(gè)數(shù)量級(jí)。現(xiàn)在我們?cè)O(shè)桿系中有一根桿受拉（或壓）力，力的大小為桿的比例極限，這是在設(shè)計(jì)時(shí)，桿能夠承受的比較大的力了，因?yàn)榇筮^它，材料就會(huì)受到不可恢復(fù)的塑性變形。一般在碳鋼的情形，它相當(dāng)于桿伸長（或壓縮）了原長的千分之一，即l/1000。還設(shè)這根桿的一端是固定的，于是另一端就移動(dòng)了l/1000，于是在這一段相聯(lián)接的另一根桿便產(chǎn)生了橫向的位移。不妨假定它的橫向位移就是l/1000（其實(shí)只有在另一根桿與變形的桿相互垂直時(shí)才是這樣的，一般情形，橫向位移要小）。

我來討論，這另一根一端橫向位移為l/1000，一端固定的桿的彎曲變形。這是一根懸臂梁。設(shè)它在固定端所受的彎矩為M，則由材料力學(xué)簡單的計(jì)算可以達(dá)到位移端的橫向位移應(yīng)當(dāng)是：

這里E是材料的楊氏模量，J是截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由這個(gè)式子可以求出桿固定端的彎矩M，從而得到那里最大的彎曲應(yīng)力

考慮到J=a?/12于是上式就化為

我們既然知道受拉桿的變形是l/1000，它的應(yīng)變是1/1000，所以拉壓應(yīng)力是E/1000，現(xiàn)在彎曲應(yīng)力多出一個(gè)引子a/l，而且由于懸臂梁在固定端的應(yīng)力是最大的，所以可知桿的彎曲應(yīng)力比起拉壓應(yīng)力要小一個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，在分析桁架的受力時(shí)，它各桿的彎曲應(yīng)力是可以略去的。這就是為什么在分析桁架時(shí)假定節(jié)點(diǎn)是鉸接的原因。

有一點(diǎn)需要附加說明的是，對(duì)于荷載都作用在節(jié)點(diǎn)上的假設(shè)，純粹是為了在分析受力時(shí)沒有受彎曲的桿件。如果有某一根桿外載是加在桿中間，那也很容易辦，先把載荷等效地分配到臨近的節(jié)點(diǎn)上分析桁架，然后只要對(duì)這根桿當(dāng)作實(shí)際載荷與反向的等效載荷作用的梁來分析，把分析結(jié)果與桁架得到的結(jié)果相疊加就可以了。

以上對(duì)桁架所受彎曲的討論，純粹是從數(shù)量級(jí)上來考慮的，因?yàn)樗O(shè)的條件都是不利的情況，實(shí)際情況遠(yuǎn)比所討論中的彎曲應(yīng)力要小許多。所以通常分析桁架，都可以放心地只考慮每根桿受拉力或壓力就可以了。不過有時(shí)候還是需要仔細(xì)討論桁架中桿件所受的彎曲情況的，例如在超靜定結(jié)構(gòu)中，有的桿變形比較大，已經(jīng)超過比例極限產(chǎn)生了塑性變形，或者結(jié)構(gòu)對(duì)變形的要求比較精密，需要考慮彎曲所引起的變形，這時(shí)候就需要考慮桁架所有桿的彎曲。這種分析的結(jié)果稱為桁架的二次應(yīng)力。

人們?cè)谘芯孔匀唤缁蛉嗽斓氖挛铮夹枰M(jìn)行一定的簡化，去抓住事物最主要的本質(zhì)特點(diǎn)，這就是模型化的方法。桁架就是結(jié)構(gòu)力學(xué)中最重要的一類模型。