來源：武際可科學網博客，作者：武際可教授。

桁架是一種普遍應用的桿系結構。圖7與圖8就是桁架結構橋梁。所謂桁架，就是桿系結構中的每一根桿都是結構中幾何單形的一條邊，對于平面桁架，單形就是三角形，每一根桿都至少是一個三角形的一條邊，對于空間桁架，單形就是四面體，每一根桿都至少是一個四面體的一個棱。所以如果把桁架的每一根桿都看作剛體，它們所構成的桿系是不會變形的，是十分堅固的。

桁架的歷史是久遠的。古羅馬時代的建筑師維特魯威（Marcus Vitruvius Pollio，生于80-70BC，逝世于15BC）所著《建筑十書》中所介紹的起重機械（圖1）和攻擊機械郝格托爾撞錘和龜（圖2）的結構可以看作最早的桁架。桁架在建造木橋和屋架上最先見諸實用（圖3）。古羅馬人用桁架修建橫跨多瑙河的特雷江橋的上部結構（發現于羅馬的浮雕中），文藝復興時期，意大利建筑師帕拉迪奧（Andrea Palladio，1508—1580）開始采用木桁架建橋，后來出現了華倫式、湯式、豪式等不同形式的桁架（圖4-6）。19世紀五十年代之后才出現鋼結構桁架。

圖1 《建筑十書》中介紹的起重裝置

圖2 郝格托爾撞錘和龜

圖3 古羅馬時代早期木結構桁架

圖4 華倫式桁架（James Warren 1848獲英國專利）

圖5 豪式（William Hawe 1840年設計并獲專利）桁架，增加了豎直桿

圖6 湯式網格（Ithiel Town 于1820年獲英國專利）桁架

圖7 1924年建成的上海浙江路桁架結構橋

圖8 施工過程中的桁架橋梁

結構力學在分析桁架的各個桿的受力時，需要簡化。歸結起來就兩條：

• 一條是所有的外力作用在桁架的節點上；

   

• 一條是桁架的所有節點都是鉸接的，也就是說每一根桿可以繞節點自由轉動。

這兩條的實質是，桁架的每一根桿只受拉壓力，不受彎矩的作用，亦即沒有彎曲。

我們注意圖7、圖8的桁架，前一個桁架的節點是鉚接的，后一個節點是焊接的，都是固接，桿與桿之間并不能相互轉動。為什么在做分析的時候卻能把這些節點簡化為鉸接的呢？這需要仔細說說。就是說，我需要估算在桁架的桿件變形時，桿件所受的彎曲程度。如果我們能夠證明在任何情況下，桿件彎曲所引起的應力比拉壓的應力都小許多，那么我們當然就可以略去桿件的彎曲，把桁架的節點看做鉸接了。

不妨設桿的長度為l，桿的截面尺寸為a，并且a<<l，即截面尺寸比長度小一個數量級。現在我們設桿系中有一根桿受拉（或壓）力，力的大小為桿的比例極限，這是在設計時，桿能夠承受的比較大的力了，因為大過它，材料就會受到不可恢復的塑性變形。一般在碳鋼的情形，它相當于桿伸長（或壓縮）了原長的千分之一，即l/1000。還設這根桿的一端是固定的，于是另一端就移動了l/1000，于是在這一段相聯接的另一根桿便產生了橫向的位移。不妨假定它的橫向位移就是l/1000（其實只有在另一根桿與變形的桿相互垂直時才是這樣的，一般情形，橫向位移要小）。

我來討論，這另一根一端橫向位移為l/1000，一端固定的桿的彎曲變形。這是一根懸臂梁。設它在固定端所受的彎矩為M，則由材料力學簡單的計算可以達到位移端的橫向位移應當是：

這里E是材料的楊氏模量，J是截面的轉動慣量。由這個式子可以求出桿固定端的彎矩M，從而得到那里最大的彎曲應力

考慮到J=a?/12于是上式就化為

我們既然知道受拉桿的變形是l/1000，它的應變是1/1000，所以拉壓應力是E/1000，現在彎曲應力多出一個引子a/l，而且由于懸臂梁在固定端的應力是最大的，所以可知桿的彎曲應力比起拉壓應力要小一個數量級。因此，在分析桁架的受力時，它各桿的彎曲應力是可以略去的。這就是為什么在分析桁架時假定節點是鉸接的原因。

有一點需要附加說明的是，對于荷載都作用在節點上的假設，純粹是為了在分析受力時沒有受彎曲的桿件。如果有某一根桿外載是加在桿中間，那也很容易辦，先把載荷等效地分配到臨近的節點上分析桁架，然后只要對這根桿當作實際載荷與反向的等效載荷作用的梁來分析，把分析結果與桁架得到的結果相疊加就可以了。

以上對桁架所受彎曲的討論，純粹是從數量級上來考慮的，因為所設的條件都是不利的情況，實際情況遠比所討論中的彎曲應力要小許多。所以通常分析桁架，都可以放心地只考慮每根桿受拉力或壓力就可以了。不過有時候還是需要仔細討論桁架中桿件所受的彎曲情況的，例如在超靜定結構中，有的桿變形比較大，已經超過比例極限產生了塑性變形，或者結構對變形的要求比較精密，需要考慮彎曲所引起的變形，這時候就需要考慮桁架所有桿的彎曲。這種分析的結果稱為桁架的二次應力。

人們在研究自然界或人造的事物，都需要進行一定的簡化，去抓住事物最主要的本質特點，這就是模型化的方法。桁架就是結構力學中最重要的一類模型。